Repulsión

[Aquí] pueden bajar las notas de la clase práctica de ayer, en donde resolvimos el problema 10 de la guía. Cosas inmediatas para hacer: resolver el problema 11 de la guía, que trata sobre el gas de Fermi-Dirac ultrarrelativista.

Una pregunta inquietante: para el gas con relación de dispersión clásica en una caja cúbica, encontramos las funciones de onda de una partícula y pudimos escribir el logaritmo de la función de partición como una suma sobre los números cuánticos nx, ny y nz. Después aproximamos la sumatoria por una integral en el impulso. Es probable que cuando resuelvan el problema 11, que trata sobre un gas ultrarrelativista, lo primero que escriban, sin reflexionar demasiado, ya sea una integral en los impulsos. Pero esa integral tiene que haber sido antes una sumatoria. Y para haber escrito esa sumatoria tienen que haber resuelto la ecuación de Schrödinger de fermiones ultrarrelativistas, si tal cosa existiera. En todo caso, tienen que haber resuelto una ecuación de onda de la cual haya resultado la cuantización de los estados para fermiones ultrarrelativistas en una caja cúbica. ¿Cuál es esa ecuación? ¿Por qué lleva a la misma cuantización para el impulso que la ecuación de Schrödinger usual?

También les quería hacer un comentario sobre el problema 9, que trata sobre un gas ideal en dos dimensiones:  el ítem (c) involucra la función f1. Esta función puede escribirse en términos de funciones elementales (la integral que define a f1 puede resolverse). De ahí que sea posible escribir una expresión para el potencial químico también en términos de funciones elementales. Eso ya no será posible para el calor específico. Un ejercicio desconcertante que pueden intentar es aplicar el lema de Sommerfeld para encontrar el desarrollo del potencial químico a bajas temperaturas, tal como hicimos con el gas tridimensional, incluyendo más términos, de ser necesario. ¿Cuál es la primera contribución no nula en el desarrollo en potencias de  T?

La semana que viene ya empezamos una nueva guía.

Notas del parcial

Ahora que tengo su atención, voy a hablar de las notas del parcial. Van a estar publicadas hoy alrededor de las 16:40 19 horas. Traten de estar en el aula a eso de las 16:50, para que les devolvamos los parciales. Dejamos para el miércoles las consultas sobre la corrección.

La semana que pasó

  • Primero: hay una versión notoriamente distinta del apunte acerca del problema 3 de la Guía 5, que trata sobre la función de partición canónica de N partículas idénticas no interactuantes. [Aquí].
  • Segundo: lecturas recomendadas para el cálculo de la masa de Chandrasekhar: el libro de Pathria y Beale y el libro de Huang. [Aquí] pueden bajar un apunte de clase, preparado el cuatrimestre pasado, pero inédito.
  • Por último: pueden leer sobre paramagnetismo de Pauli en casi cualquiera de los libros de la bibliografía. Pathria y Beale despachan rápidamente el resultado a temperatura cero y luego discuten el caso general y el de bajas temperaturas. [Aquí] pueden bajar un apunte de cursos pretéritos.
  • Finalmente: es probable que las notas de los parciales estén el lunes.

Apuntes de la clase de hoy

Los problemas de la Guía 5 que vimos hoy en la clase de práctica están pasados en limpio en los siguientes apuntes del cuatrimestre pasado (la numeración puede diferir):

  • Problema 1: paso de sumas a integrales para la función de partición canónica de una partícula en una caja.
  • Problema 3 [versión actualizada]: expansión en potencias del volumen de la función de partición canónica para N partículas indistinguibles en una caja. El límite clásico y la justificación del conteo no tan correcto de Boltzmann.
  • No exactamente el problema 4, pero relacionado. Función de partición gran canónica, funciones de Fermi-Dirac y más cosas que veremos en las próximas clases.

Guía 5 [actualizado]

El ensamble virtuoso

Radu Balescu, “Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics”.

La explicación más razonable I

Richard Feynman, Nobel Lecture.

La explicación más razonable II

Arthur Schopenhauer, citado por Borges en “Otras Inquisiciones”.

Un doble

Edgar Allan Poe, William Wilson.

La Guía 5 puede bajarse [aquí].

Actualización: esta semana sólo hay clases prácticas, de 17 a 22.

Lo que sabemos y lo que sabemos que no sabemos

  • El primer parcial es este miércoles 8 de mayo a las 17 horas.
  • Aún no sabemos el aula. Aula Magna del Pabellón 2.
  • Serán tres problemas de ensambles.
  • Se puede usar una hoja de fórmulas, escrita sólo por una carilla.
  • No se podrán hacer consultas, salvo de enunciado y perpetradas desde el banco.
  • Usen un estilo breve y directo: premisa, ecuación, consecuencia.
  • No incurran en un tratado sobre la construcción axiomática de los reales.
  • Y así con todo.
  • Hora de entrega supuesta: 21.
  • Hora de entrega cierta: 21:30.

4. Enajenarse de la razón o del sentido, por pasión, éxtasis o accidente

Lamento que la clase práctica del lunes pasado no haya salido bien. La ecuación de Boltzmann y los problemas de transporte son muy divertidos. Luego de pasar en limpio los apuntes para la clase, quedó claro que era demasiado. Pueden bajar el apunte [aquí]. Los cálculos son más generales que lo estrictamente necesario para resolver los problemas de la guía. [Aquí] hay una resolución cosecha 2019 del problema 3 que va directo al asunto.

El libro de Dalvit et al. tiene muy buenos problemas de Boltzmann; por ejemplo, vean el 6.19. La primera edición del libro de Huang, que se consigue en la Biblioteca, tiene métodos más sofisticados para resolver aproximadamente la ecuación de Boltzmann. (Está subido al Internet Archive, pero, al día de hoy, está bloqueado. Si alguien lo consigue, pásemelo). Por desgracia, estos temas no llegaron a la segunda edición del libro, que es la que se consigue. Para curarse de espanto, o por mera curiosidad, pueden bajar el libro de Chapman y Cowling,  “The Mathematical Theory of Non-uniform Gases”. Sobre la aproximación de equilibrio local, está bien [esta nota] ligera de la Wikipedia.

Teniendo en cuenta lo restrictivos que fueron los tiempos de clase, en el parcial no vamos a tomar problemas de transporte.