Ahora que tengo su atención, voy a hablar de las notas del parcial. Van a estar publicadas hoy alrededor de las 16:40 19 horas. Traten de estar en el aula a eso de las 16:50, para que les devolvamos los parciales. Dejamos para el miércoles las consultas sobre la corrección.
Esta semana tendremos varias horas de teórica, para recuperar clases de la semana pasada. El lunes solo tendremos teórica, en otra sesión maratónica pero gratificante. Para cerrar los temas de la primera mitad de la materia, y comenzar con la segunda mitad, este posteo va a tocar un tema que suscitó varias preguntas en el curso: ¿Podemos obtener la física macroscópica como un límite sistemático de la física microscópica, sin hacer aproximaciones, y en condiciones muy generales? La respuesta en general es que no, y para mostrar esto alcanza con dar un contraejemplo.
Hace unos años un grupo de científicos demostró que, para un problema físico particular, obtener ciertas propiedades macroscópicas a partir del conocimiento completo y preciso de las leyes microscópicas del sistema es indecidible. El problema particular que consideraron es el de calcular la diferencia de energía entre niveles de un semiconductor (el “gap espectral“, o la energía necesaria para mover un electrón del estado fundamental al estado excitado en un sistema con muchos electrones). El valor del gap espectral tiene un impacto en el comportamiento macroscópico del sistema: los semiconductores tienen un gap espectral y sus propiedades físicas dependen de este gap, mientras que si no existe un gap, el material sufre una transición a otro estado.
Lo que se demostró es que conociendo completamente la física microscópica del sistema cuántico, la pregunta “¿tiene el sistema un gap espectral?” es indecidible. Que este problema sea indecidible significa que es imposible construir un algoritmo general que siempre nos de la respuesta correcta. Esto no significa que la pregunta no pueda contestarse, o que no pueda calcularse el valor del gap. Lo que significa es que el cálculo de esta propiedad macroscópica (aún conociendo completamente la física miscroscópica del sistema) no puede hacerse usando un único algoritmo que valga en todos los casos. En otras palabras, puede existir un algoritmo que permita obtener la respuesta para un material particular, pero que para otro material el mismo método no sirva. O, como dicen los autores del trabajo, “no puede existir un método general que permita determinar si un material descripto por la mecánica cuántica tiene un gap espectral o no”. No hay atajos elegantes. No hay una lista de casos y un algoritmo que nos permita elegir qué método usar en cada caso. Hay que hacer física.
La demostración de indecibilidad se realizó mostrando que el problema es equivalente al problema de la parada de Turing. En 1936, Turing demostró que no es posible escribir un “programa” que ejecutado en una “computadora” (técnicamente, un algoritmo en una máquina de Turing) pueda decidir si otro algoritmo terminará de ejecutarse en un número finito de pasos o no. El teorema de Turing está relacionado con otros dos teoremas famosos de Gödel, que dicen (en su forma débil) que es imposible escribir en forma algorítmica un conjunto de reglas (o axiomas) para generar la aritmética que sea a la vez correcta y completa. Noten que si el sistema es incompleto, en algún momento encontraremos algún teorema válido que no podremos probar con los axiomas que tenemos. ¡Y si es incorrecto, en algún momento podremos probar que vale cierto teorema, y también que no vale ese mismo teorema!
Los que quieran saber más pueden leer un artículo sobre el problema del gap espectral en Phys.org, o el paper original publicado en la revista Nature:
Sin embargo, noten que este resultado no implica que no podamos armar teorías físicas fundamentales, que no se pueda conocer el Hamiltoniano que describe la física básica del problema, o que no se pueda conocer si el sistema tiene un gap o no. Lo que implica es que no alcanza con saber matemática y usarla como en una “receta”, y que siempre tendremos que hacer aproximaciones o consideraciones según la física de cada sistema.
El resultado sobre la indecibilidad del problema del gap espectral es parte de varios resultados recientes que identifican problemas indecidibles o no computables en diferentes áreas de la física (tanto clásica como cuántica), y parten de una pregunta hecha en 1994 por Roger Penrose en un libro hermoso pero también polémico, en el que Penrose se pregunta si existirán problemas de este tipo en sistemas físicos. Mas allá de los detalles técnicos, los resultados pueden ser muy perturbadores para los que esperaban que el curso de mecánica estadística les permita justificar, en forma sistemática, todo lo que no comprendemos de la física macroscópica a partir de fenómenos microscópicos (¡que probablemente tampoco comprendamos muy bien!).
En cierto sentido, esto tiene una relación con la visión de las jerarquías en la física de Feynman de un posteo anterior, donde Feynman decía que es un error pensar que uno puede partir de uno de los extremos (la física microscópica) y caminar solamente desde ese extremo hacia el otro (la física macroscópica), creyendo que de esa forma se alcanzará un entendimiento completo. En esta línea de pensamiento les aconsejo fuertemente leer también este genial artículo de 1972 de Philip Anderson:
En ese artículo el señor Anderson entre otras cosas dice lo siguiente:
“The ability to reduce everything to simple fundamental laws does not imply the ability to start from those laws and reconstruct the universe [...] At each stage entirely new laws, concepts, and generalizations are necessary, requiring inspiration and creativity to just as great a degree as in the previous one.“
La intuición física de Feynman y de Anderson (y de muchos otros físicos) se adelantó a estos resultados más recientes y más formales. Vale aclarar que este artículo de Anderson a veces es mal interpretado. Anderson no dice que los sistemas extensos sigan nuevas leyes fundamentales, o que nuevas fuerzas fundamentales aparezcan como resultado de considerar sistemas con nuevas partículas. Pero sí dice que conocer las leyes fundamentales no es suficiente para con ellas reconstruir el universo en forma sistemática, y que al considerar cada aumento en la escala del sistema, es necesario realizar nueva investigación en física básica, e introducir nuevos conceptos, nuevas ideas y nuevas generalizaciones. Cada capa de la cebolla requiere aproximaciones nuevas, ideas ingeniosas, y mucha creatividad.
¿Y por qué el Señor Anderson insiste con esto? ¿Por qué lo hace? Porque elige hacerlo:
Los problemas de la Guía 5 que vimos hoy en la clase de práctica están pasados en limpio en los siguientes apuntes del cuatrimestre pasado (la numeración puede diferir):
El ensamble virtuoso
Radu Balescu, “Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics”.
La explicación más razonable I
Richard Feynman, Nobel Lecture.
La explicación más razonable II
Arthur Schopenhauer, citado por Borges en “Otras Inquisiciones”.
Un doble
Edgar Allan Poe, William Wilson.
La Guía 5 puede bajarse [aquí].
Actualización: esta semana sólo hay clases prácticas, de 17 a 22.
Para cerrar los temas de la primera mitad de la materia, el posteo de hoy está dedicado a los cerebros de Boltzmann y su presencia ubicua en la cultura popular. Pueden leer este posteo mientras escuchan la banda de sonido de Guardianes de la Galaxia (ya se enterarán por qué es relevante en este tema).
El concepto de cerebros de Boltzmann se origina en un paper de Boltzmann de 1895 publicado en Nature, en el que Boltzmann defiende su teoría cinética de diversas críticas. Como vimos en clase y en un posteo previo, Boltzmann mostró que para un gas diluido una cantidad que llamó “H” (la entropía de Boltzmann) crece casi siempre hasta alcanzar un máximo. Esto llevó a que la gente se pregunte por qué el universo no se encuentra entonces en el estado más desordenado posible. La respuesta posible (y la primer respuesta que dió Boltzmann) es que el universo debe haber comenzado en un estado de muy baja entropía, y actualmente se encuentra evolucionando hacia un estado cada vez más desordenado y con mayor entropía. Pero la segunda respuesta posible (idea de un asistente de Boltzmann, el Dr. Schuetz) es la siguiente:
“Supongamos que todo el universo está, y descansa para siempre, en equilibrio térmico. La probabilidad de que una (solo una) parte del universo se encuentre en un cierto estado, es menor cuanto más lejos esté este estado del equilibrio térmico. Pero esta probabilidad es mayor cuanto mayor es el universo. Si asumimos que el universo es lo suficientemente grande, podemos hacer que la probabilidad de que una parte relativamente pequeña del universo esté en cualquier estado (sin importar el estado de equilibrio) sea tan grande como queramos. También podemos aumentar la probabilidad de que, aunque todo el universo esté en equilibrio térmico, nuestro mundo esté en su estado actual.“
Es decir, de la misma forma que la probabilidad de que todas las partículas de un gas en una habitación estén espontáneamente en una esquina de la habitación es muy baja pero no nula, también existe una probabilidad muy baja (pero no nula) de que en un estado de equilibrio térmico desordenado muy extenso, una fluctuación cree la Tierra con todos nosotros y tal como la vemos ahora. De la misma forma, una fluctuación también podría crear espontáneamente los libros de la Bibioteca de Babel de Borges, o los diálogos de una película de David Lynch.
Si una fluctuación (con muy baja probabilidad) podría hacer esto, ¿por qué no podemos imaginar otros microestados posibles? Como una forma de reducir al absurdo este segundo argumento de Boltzmann, se propuso entonces el concepto de los cerebros de Boltzmann: Una fluctuación podría generar espontáneamente un cerebro completo, flotando en el espacio, con todos sus falsos recuerdos de haber existido previamente. ¿Cómo sabemos que nosotros no somos cerebros de Boltzmann, y que actualmente no estamos decayendo hasta apagarnos en el baño térmico del universo?
El argumento en contra de esta idea fue desarrollado por Sir Arthur Eddington en 1931, y más tarde Richard Feynmann también lo consideró en sus Feynman Lectures. Feynman, luego de explicar que si fueramos una fluctuación del universo, al realizar mediciones en zonas que no observamos antes deberíamos ver un nivel de aleatoriedad diferente al que recordamos, concluye:
“Por lo tanto, concluimos que el universo no es una fluctuación, y que el orden es un recuerdo de las condiciones cuando las cosas comenzaron. Esto no quiere decir que comprendamos la lógica de esto. Por alguna razón el universo tuvo una entropía muy baja inicialmente, y desde entonces la entropía ha aumentado. Así que ese es el camino hacia el futuro. Ese es el origen de toda irreversibilidad, eso es lo que hace que los procesos de crecimiento y decadencia, que nos hace recordar el pasado y no el futuro, nos recuerden las cosas que están más cerca de ese momento en la historia del universo cuando el orden era más alto que ahora, y por qué no podemos recordar cosas donde el desorden es más alto que ahora, al que llamamos el futuro.”
En años más recientes el concepto de cerebros de Boltzmann también se usó para reducir al absurdo algunas ideas en ciertas teorías cosmológicas. Y, extrañamente, apareció repetidas veces en la cultura popular. Como ejemplos, en Guardianes de la Galaxia vol. 2, Ego (el padre de Peter Quill, alias “Star-lord“) es un cerebro gigante en el espacio, creado al inicio de los tiempos:
Y en Futurama existe una raza de cerebros que flotan en el espacio, que fueron creados espontáneamente durante el Big Bang, y que tienen el poder de volver estúpida a la gente (excepto, obviamente, a los que ya son estúpidos):
La idea del asistente de Boltzmann, el Dr. Schuetz, hoy vuelve a tener interés en el estudio de sistemas estadísticos fuera del equilibrio: hoy sabemos que existen evoluciones posibles de estos sistemas en las que la entropía decrece (durante un tiempo acotado) en lugar de crecer. Pero también sabemos que la probabilidad de hallar al sistema evolucionando en esas condiciones es mucho menor que la probabilidad de que el sistema aumente su entropía. Y no solo eso, podemos calcular la probabilidad de que sucedan este tipo de eventos. Existen varias relaciones que permiten calcular la probabilidad de estos eventos; dos de ellas, que fueron verificadas experimentalmente en los últimos años y juegan un rol importante en el estudio de sistemas cuánticos abiertos, materia condensada, y otros sistemas fuera del equilibrio, son la igualdad de Jarzynski y el teorema de fluctuación de Crooks. Básicamente, estas relaciones nos dicen que la probabilidad de encontrar al sistema “desordenándose” en lugar “ordenándose” crece exponencialmente con el cambio de entropía (o de energía libre) en el sistema. Es decir, cuanto más cambie la entropía al evolucionar el sistema hacia el equilibrio, menos probable será encontrar al sistema evolucionando en la dirección contraria.
Pabellón 2, Aula Magna. Pueden traer hasta cuatro invitados.
Lamento que la clase práctica del lunes pasado no haya salido bien. La ecuación de Boltzmann y los problemas de transporte son muy divertidos. Luego de pasar en limpio los apuntes para la clase, quedó claro que era demasiado. Pueden bajar el apunte [aquí]. Los cálculos son más generales que lo estrictamente necesario para resolver los problemas de la guía. [Aquí] hay una resolución cosecha 2019 del problema 3 que va directo al asunto.
El libro de Dalvit et al. tiene muy buenos problemas de Boltzmann; por ejemplo, vean el 6.19. La primera edición del libro de Huang, que se consigue en la Biblioteca, tiene métodos más sofisticados para resolver aproximadamente la ecuación de Boltzmann. (Está subido al Internet Archive, pero, al día de hoy, está bloqueado. Si alguien lo consigue, pásemelo). Por desgracia, estos temas no llegaron a la segunda edición del libro, que es la que se consigue. Para curarse de espanto, o por mera curiosidad, pueden bajar el libro de Chapman y Cowling, “The Mathematical Theory of Non-uniform Gases”. Sobre la aproximación de equilibrio local, está bien [esta nota] ligera de la Wikipedia.
Teniendo en cuenta lo restrictivos que fueron los tiempos de clase, en el parcial no vamos a tomar problemas de transporte.
