En la pestaña de material adicional cargué un apunte con la resolución de los ejercicios propuestos de la guía de ondas (vector de Poynting en un conductor) para reforzar conceptos sobre el teorema de Poynting. Les quedan los ejercicios de reflexión total interna y RTIF para seguir practicando con el cálculo del vector de Poynting.
Dejo dos apuntes de Fernando para cubrir los temas de la teórica de hoy:
En la clase práctica del próximo lunes vamos a empezar con los temas de Relatividad. Dado que perdimos algunas clases en el pizarrón, optamos por no atrasarnos mas en el cronograma y seguir adelante para arrancar la guía 6. En compensación, les dejamos algunas propuestas de ejercicios para que complementen la práctica de lo que vimos las últimas clases de ondas y balance de energía. Intenten plantear, resolver y luego consulten en el aula lo que obtuvieron.
Nos vemos,
Emilio
La clase teórica de mañana miércoles comenzará 18hs. De esta manera quiénes quieran y puedan sumarse al corte por avenida Cantilo para visibilizar la situación de la facultad y UUNN podrán asistir a la movilización.
Nos vemos,
Emilio
La clase teórica de hoy lunes 14 de octubre arranca a las 17:45hs. De esta manera, quienes quieran y puedan asistir a la asamblea intergremial convocada para el día de hoy podrán ir y no perder el avance de la clase.
Mañana miércoles habrá clase de repaso desde las 17hs y vamos a establecer los criterios de evaluación y de aprobación para el primer parcial. Luego habrá consultas. En la pestaña de material adicional agregué un enlace con un problema de un parcial anterior suplementado con algunas preguntas y propuestas.
En la práctica de hoy vamos a responder a la antepenúltima, la anteúltima y la última pregunta de la guía de ejercicios previo al parcial.
El lunes 16/09 no hay teórica. En la práctica intentaremos alinear las agujas, y para eso comenzamos la clase a las 17:30hs en el pizarrón.
Nos vemos,
Emilio
El método de separación de variables es útil para resolver campos en teorías mas allá del electromagnetismo clásico, aplica en espacios curvos y en cualquier número de dimensiones. La combinación del electromagnetismo y la relatividad general dan lugar a las ecuaciones de Einstein-Maxwell. A fines de la década de 1960 se derivó, a partir de estas ecuaciones, que la solución de un agujero negro está completamente caracterizada por 3 observables: su masa, su momento angular y su carga eléctrica. Esto significa que toda otra información acerca de cómo se formó y lo que atravesó el horizonte de eventos queda clásicamente inaccesible para un observador externo. Se dice que un agujero negro no tiene pelos -aunque puede tener, a lo sumo, la misma cantidad que Homero-, porque no tiene ningún otro momento multipolar asociado. A este resultado se lo conoce como no-hair theorem, y junto con la radiación de Hawking dan lugar a la paradoja de la pérdida de información.
En 1971, estando al tanto del teorema de agujeros negros sin pelos, Cohen y Wald plantearon el problema electrostático de una carga de prueba frente a un agujero negro de Schwarzschild de masa m (sin carga eléctrica, ni rotación). Ubicaron una carga q en el eje z para tener simetría azimutal y, tras unos pocos pasos intermedios, llegaron a la siguiente ecuación para el potencial electrostático en el espacio curvado por el agujero negro
Ecuación de Poisson en la geometría de Schwarzschild, donde J^0 representa la densidad de carga eléctrica de una carga puntual.
Notarán la similitud entre esta ecuación y la que plantearon en la clase teórica de la materia usando coordenadas esféricas en el espacio plano. Cohen y Wald usaron separación de variables y expresaron el potencial con un desarrollo en Polinomios de Legendre, exactamente igual a lo que haríamos en cualquier problema con simetría azimutal. La diferencia está en las soluciones radiales, hay un horizonte de eventos que complica un poco la solución, pero no mucho. Dejando de lado detalles, hay 2 cosas para destacar del resultado de su artículo:
Sucesión de configuraciones estáticas (sin dinámica) de una carga de prueba q frente a un agujero negro de Schwarzschild. Al ubicar q sobre el horizonte sólo queda la carga total y desaparecen todos los otros momentos multipolares.
Las similitudes con un conductor esférico son notables. Para completar la historia vale la pena mencionar que unos pocos años después se encontró que la expansión multipolar del potencial de la carga q frente a Schwarzschild se podía re-sumar en forma cerrada, el resultado fue presentado por B. Linet y es llamativamente simple:
Potencial para una carga "e" en Schwarzschild. Notar que al evaluar en m=0 se obtiene el potencial de una carga en el espacio Euclídeo vacío.
El primer término de arriba (azul en la figura) se obtuvo como una solución local de la carga en la geometría de Schwarzschild y se conoce como potencial de Copson, por el matemático que la publicó el en el año 1928. Copson olvidó imponer una condición de contorno asintótica, por lo que el resultado global era físicamente insatisfactorio y no se le dio mucha importancia. Casi 50 años después, Linet comprendió que la solución cerrada de Copson era correcta si sumaba el término φL (rojo en la figura), y mostró que el desarrollo de Cohen y Wald coincide con el potencial de Copson + Linet.
El potencial φL que faltaba sumar en el año 1928 es un término monopolar necesario para quitar el exceso de carga a la solución de Copson y que el resultado refleje que Schwarzschild es un objeto sin carga eléctrica neta. Para eso lo que se usó fue el teorema de Gauss y así se garantizó que la carga total del problema fuera sólo q, la de la carga de prueba. La construcción que hizo Linet es completamente análoga a la que hacemos en los problemas externos a conductores esféricos cuando agregamos un término monopolar (“una carga en el centro”) para conseguir que quede un conductor descargado y que su superficie siga siendo equipotencial (recuerden los ítems (e) de los problemas 16 y 17).
Sucesión de configuraciones estáticas (sin dinámica): Equipotenciales de una carga de prueba frente a un agujero negro y frente a un conductor perfecto (descargado).
Mas allá de que faltaba un término monopolar, observen que φC es -por sí solo- equipotencial sobre la superficie del horizonte de eventos (en unidades geométricas, esto es evaluar en r=2m, el horizonte). Además, en su artículo de 1928, Copson mencionó que “el potencial es independiente de la posición donde se ubique el electrón sobre la esfera del horizonte“, lo cual él calificó sencillamente como “a rather curious result“. Lo curioso del problema electrostático de la carga de prueba en la geometría de Schwarzschild es que predijo algo certero acerca de la calvicie eléctrica de los agujeros negros 40 años antes de que se formulara el teorema de agujeros negros sin pelos.
Para aquellxs que siguen en el Limbo, quiero anunciarles que ya ingresamos al Segundo Círculo. A esta hora, en la pestaña de Material Adicional, tienen 4 links asociados a la guía 2. Entre ellos van a encontrar un apunte de fórmulas para separación de variables [link] que les será útil adjuntar a sus carpetas de ejercicios.
Nos vemos,
Emilio.
