[link para descargar en PDF]

En el marco provisto por la teoría de la relatividad general de Einstein las teorías de gravedad estudian la dinámica del espacio-tiempo y su interacción con la materia a través de las ecuaciones de Einstein. La forma directa de obtener una versión cuántica de esta teoría sería aplicar el proceso de cuantización estándar a las variables que describen la geometría del espacio-tiempo. Sin embargo, este acercamiento encuentra rápidamente problemas, y hoy en día hay razones profundas para creer que la ruta correcta hacia la formulación de una teoría cuántica de la gravedad debe ser fundamentalmente diferente. Uno de los indicios que dan cuenta de esto, es la idea de que la gravedad es holográfica. Es decir, que dada una región del espacio-tiempo, el número de grados de libertad no es proporcional al volumen de la región (como sucede con las teorías de campos convencionales) sino que es proporcional al área del borde de la región. Por lo tanto, pensar en una formulación cuántica de la gravedad en términos de una teoría de campos local no parece el camino a seguir, dado que las fluctuaciones locales en la geometría del espacio-tiempo no pueden representar grados de libertad fundamentales (como lo sí lo representan, por ejemplo, las fluctuaciones del campo electromagnético en el electromagnetismo).

En las últimas décadas, en forma relacionada al estudio de la teoría de cuerdas, se ha logrado cierto progreso en el entendimiento de la gravedad cuántica, culminando esto en los primeros modelos no perturbativos de gravedad cuántica provistos por la correspondencia (o dualidad) AdS/CFT. Estos modelos representan una realización concreta del llamado principio holográfico. Las teorías cuánticas de gravedad se definen así en términos de teorías cuánticas ordinarias no gravitatorias (típicamente, teorías de campos conformes, abreviadas como CFT) en un espacio-tiempo estático de dimensión menor. La idea básica de la correspondencia es que cada estado del sistema cuántico ordinario codifica toda la información acerca del estado del sistema gravitatorio. Por ejemplo, el vacío de la teoría cuántica típicamente corresponde a un espacio-tiempo vacío (Anti-de Sitter o AdS), las excitaciones de baja energía se asocian a un espacio-tiempo con algunas ondas gravitacionales, y las excitaciones de alta energía suelen representar geometrías que presentan agujeros negros.

A simple vista, esto podría parecer un resultado anecdótico, pero cuando nos ponemos a pensar en la importancia que tiene en el mundo clásico la posibilidad de hacer “copias” la cosa toma un tono más serio. La computación que conocemos (clásica) utiliza la idea de poder copiar un estado para corregir posibles errores que pueden aparecer al trasmitir/procesar información. Digamos que tenemos que enviar una cadena de ceros y unos (esencialmente cualquier parte del proceso de cómputo involucra hacer esto) pero sabemos que existe cierta posibilidad de que al enviar dicho mensaje uno de esos bits cambie de estado y pase de ser 0 a 1 (lo que se conoce como bit flip). Lo que podemos hacer para solucionar este error es copiar nuestro mensaje y enviar la misma copia varias veces. Si la probabilidad de que ocurra un bit flip es baja, la mayor parte de los mensajes llegarán inalterados y el receptor puede decidir cuál de los mensajes que recibe es el “verdadero” simplemente contando el mensaje que más veces le llegó. Estas ideas llevan al estudio de los llamados códigos de corrección de errores en computación clásica (habrá distintos códigos de corrección para cada tipo de error - bit flip, borrado de un bit, etc.).

¿Qué hacemos entonces si queremos utilizar sistemas cuánticos para hacer computación? ¿Cómo corregimos errores si no podemos clonar estados cuánticos? Estas preguntas se han estudiado ya bastante y se conocen también códigos de corrección de errores cuánticos, que naturalmente no pueden hacer uso de la posibilidad de clonar estados (porque no podemos hacerlo!) sino que en general se basan en “embeber” el estado en el cual uno codifica el mensaje en otros estados de un espacio de Hilbert de mayor dimensión. Más abajo les dejo una referencia por si les interesa ver este tema (algunos de estos códigos son bastante sencillos!). En resumen: los errores se pueden corregir a pesar de no poder clonar estados, y esto es fundamental para siquiera poder pensar en la computación cuántica.

Les dejo aquí un video (gracias a Nicolás Del Grosso por pasármelo!) donde se habla sobre el Teorema de No Clonado (noten que tiene la opción de activar subtítulos en español):

https://www.youtube.com/watch?v=owPC60Ue0BE

Y por otro lado va también la referencia donde pueden ver algunas cosas de computación si tienen interés. En dicho libro se da un resumen de mecánica cuántica para el profesional de ciencias de la computación que nunca escuchó sobre el gato de Schrödinger y también se resumen algunas de las ideas más importantes de la computación para el físico que nunca escuchó lo que es una máquina de Turing (y también habla de un mundo intermedio, una suerte de nexo, la teoría de la información). El capítulo sobre código de corrección de errores es el 10.

“Quantum computation and quantum information” – M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Cambridge University Press (2010).

0 = Tr (xp-px) = Tr (i ℏ) = n i ℏ ≠ 0

Esta contradicción nos dice entonces que la relación de conmutación no puede realizarse si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Si queremos imponer la relación de conmutación [x,p] = i ℏ, el espacio de Hilbert debe ser tener dimensión infinita. En un espacio de dimensión infinita la traza ya no está bien definida (por ejemplo, la traza del operador identidad no existe) y entonces ya no tenemos ninguna contradicción.

Este es uno de los ejemplos en los cuales se notan las sutilezas que aparecen al estudiar la teoría de operadores lineales en espacios de dimensión infinita. En el curso, como ya mencionamos en clases, nosotros utilizaremos siempre la intuición que tenemos de trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita, pero es bueno saber que hay detalles que se nos van a escapar.

Quienes estén interesados en leer sobre este tipo de problemas pueden consultar el paper “Mathematical surprises and Dirac’s formalism in quantum mechanics” que está en la sección “Material Adicional” de la página web.

La respuesta la daremos la semana que viene en otro post de la página web. A pensar!

Si hacen el cálculo de la vida media y lo comparan con su valor experimental verán que hay una discrepancia significativa, producto de la simplificación que hicimos al suponer que el potencial al que se encuentra sometida la partícula α por la presencia del Talio está dado por una barrera. Si en lugar de una barrera uno modela dicho potencial por una cantidad N de barreras consecutivas con altura variable se puede verificar que el resultado para la vida media se aproxima cada vez más al experimental. Este cálculo se puede realizar en la computadora y deberían obtener un resultado relativamente razonable para N ~ 10.