Llegó el festival anual psicodélico de la autosemejanza en la física y en áreas afines. Tenemos entradas para ver ejemplos de fenómenos críticos en física de materiales, sistemas biológicos, fluidos, cosmología, y hasta en neurociencias (¡gracias a sugerencias invaluables de Enzo Tagliazucchi!). Los links de bandas que tocaron en un festival de nombre similar llevan a videos en YouTube, para escuchar música el fin de semana.

Comencemos con el lineup. En el escenario principal, después de Guns N’ Roses, tenemos dos ejemplos de física de materiales y materia condensada. Ya conocemos las transiciones de fase asociadas a los cambios de estado de la materia (sólido, líquido y gaseoso). Así que veamos el show de bandas menos conocidas (y con ejemplos recientes de publicaciones en física). Primero tenemos a los cristales líquidos. Los cristales líquidos están formados por moleculas anisótropas (generalmente alargadas, por ejemplo con forma de largos cilindros), por lo que se comportan con propiedades intermedias entre los líquidos y los sólidos de acuerdo a en que dirección del material se aplican los esfuerzos. Y tienen al menos dos fases: en la fase nemática (a mayor temperatura) las moléculas están más desordenadas, pero se alinean a lo largo de sus ejes principales. En cambio, en la fase esméctica (a menor temperatura) las moléculas se acomodan en capas más ordenadas, y dentro de cada capa las moléculas están inclinadas con el mismo ángulo. El cambio entre ambas fases es una transición de fase con propiedades críticas. Los interesados pueden mirar un paper reciente (Gim, Beller & Yoon, Nat. Commun. 8, 15453, 2017), donde encontrarán esta figura alucinante con cambios morfológicos del material durante la transición (para temperatura creciente, de izquierda a derecha):

Los que quieran leer otro ejemplo de transiciones de fase en materiales, pueden mirar este artículo sobre transiciones sólido-sólido que ocurren por cambios en la forma de partículas coloidales.

Vayamos a otro escenario del Criticalpalooza, y mientras escuchamos The Flaming Lips veamos ejemplos recientes de transiciones de fase y autosemejanza observados en sistemas biológicos. Ciertas células cambian sus patrones de movimiento de acuerdo a la densidad de células en su entorno. A baja densidad muestran un movimiento desordenado, mientras que a alta densidad muestran patrones de movimiento colectivo y ordenado. La transición entre ambos comportamientos ocurre como una transición de fase. Pueden ver un ejemplo en Szabó et al., Phys. Rev. E 74, 061908 (2006) (el preprint está diponible en este link). La siguiente figura, de ese paper, muestra los patrones de movilidad al aumental la densidad de las células (de izquierda a derecha). Noten el cambio en el orden del sistema:

Los que tengan interés por ver más aplicaciones en biofísica, pueden mirar también un paper sobre fenómenos críticos en membranas lípidas (¡donde estiman exponentes críticos!).

En el mismo escenario donde toca Metallica tenemos una variedad de fenómenos autosemejantes que se observan en fluidos. El más conocido es el fenómeno de la turbulencia, que es heavy metal. Los fluidos más viscosos (donde la viscosidad se mide con un número adimensional, el número de Reynolds) fluyen en forma ordenada y laminar. Pero al aumentar el número de Reynolds (y reducirse la importancia de la viscosidad), generan flujos muy desordenados que tienen propiedades de invariancia de escala. En la siguiente figura, noten como zooms sucesivos en el flujo parecen repetir los patrones:

Esta es una transición extraña, porque los flujos turbulentos tienen propiedades de criticalidad y autosemejanza, pero son un sistema fuera del equilibrio. Pueden ver más imágenes de flujos turbulentos aquí. Y pueden ver un ejemplo de una transición de fase en turbulencia en un condensado de Bose-Einstein en este paper.

Los que tengan interés por cosmología pueden ir al escenario donde tocan Empire of the Sun y  Lee Smolin, y leer este artículo, donde se discuten diversos problemas (como la formación de galaxias espirales, la estructura de gran escala del universo, o el universo temprano) desde el punto de vista de fenómenos críticos. Bastante más difícil de leer (¡gracias a Gastón Giribet que me mencionó este resultado el año pasado!), pero que sirve como ilustración, es este paper donde se estudia una transición de fase al compactificar una dimensión en teorías de gravedad (compactificar es “enrollar” una dimensión sobre si misma, y hacer tender ese “rollo” a cero).

Para cerrar el festival, este Criticalpalooza no tendrá a The Strokes, pero tiene ejemplos de fenómenos críticos en el cerebro (¿lo entendieron?). Las funciones cognitivas involucran procesos que van desde las neuronas individuales hasta regiones grandes del cerebro, y en los últimos años se encontró evidencia creciente de que el cerebro funciona en el borde entre el orden y el desorden, con propiedades de fenómenos críticos. Los interesados en ver ejemplos de criticalidad y autosemejanza en el cerebro pueden mirar este paper o este paper.

Terminado el festival pueden tomar Red Bull © y mirar el video de la última teórica, o revisar los apuntes para la próxima clase.

Antes de comenzar con el último tema de la materia, hagamos una pausa para discutir un tema muy poco serio, pero que no podía quedar afuera de Física Teórica 3: el propulsor de improbabilidad infinita. Así que tomen sus toallas y prepárense para un viaje por la galaxia.

El propulsor forma parte de The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy, una serie de novelas humorísticas de ciencia ficción, radionovelas, programas de TV, y películas escritas por Douglas Adams. La novela narra (con ligeros cambios en los otros medios) las aventuras de un humano (Arthur Dent) acompañado por dos extraterrestres (Ford Prefect y Zaphod Beeblebrox) luego que la Tierra es destruida. Deben tener en cuenta que la primer radionovela fue emitida por la BBC en 1978, cuando todavía estaba activo Monty Python, por lo que esta no es una típica historia de ciencia ficción. Entre otras nociones memorables, The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy nos dijo que la respuesta a la pregunta final sobre la vida, el universo y todo lo demás es “42″ (¡prueben escribir “What is the answer to the ultimate question of life the universe and everything?” en Google!).

El tema que nos convoca es el poco probable uso de las probabilidades que hace esta saga. En The Hitchhiker’s, los personajes viajan en una nave espacial que cruza el universo (violando todas las leyes de la física) gracias al propulsor de improbabilidad infinita. El propulsor se presenta como un método nuevo y maravilloso para cruzar distancias interestelares en forma instantánea, sin “tediosas tonterías en el hiperespacio”. Fue descubierto por casualidad, y su funcionamiento se basa en aumentar la improbabilidad de ciertos sucesos hasta alcanzar valores infinitos. La fuente de aleatoriedad del propulsor es un productor de movimiento browniano (es decir, una taza de té caliente). Una vez encendido, la nave pasa por cada punto concebible de cada universo concebible, simultáneamente. Como resultado del viaje, también pueden ocurrir otras cosas altamente improbables.

Esto es solo un breve resumen de cinco libros en los que nada tiene sentido. Pero hagamos el ejercicio de tratar de tomar seriamente a este propulsor. ¿Qué es la improbabilidad? Si P(x) es la probabilidad de que un evento x ocurra, podríamos asociar la improbabilidad de un evento a la probabilidad de que el suceso no ocurra. Cuando comenzó la materia, vimos que esta probabilidad está dada por:

Esto sería peligrosísimo. Si una máquina convirtiera P en I localmente, le asignaría probabilidad 1 a todas las cosas que no pueden ocurrir. Es genial; podríamos aparecer en otros lugares, pero hay muchas otras cosas malas que podrían pasar. Imaginen si tuviéramos diez crisis como la de COVID-19 en simultáneo.

En realidad la situación es peor, y esta definición no es correcta. La improbabilidad I(x) está acotada entre 0 y 1. Pero Douglas Adams nos dice claramente en The Hitchhiker’s que la improbabilidad puede ser infinita (en caso contrario, la máquina se llamaría el propulsor de improbabilidad unitaria, algo que de todas formas hubiera sido más correcto). Así que en el contexto de la novela puede ser más correcto definir I(x) como:

Esto tiene una serie de problemas aún más grandes. Pero Douglas Adams parece comprender algunos. Cada vez que los personajes usan el propulsor, los efectos secundarios incluyen cambios temporarios (y a veces permanentes) en el medio ambiente, en la estructura morfológica de los personajes, alucinaciones, y la aparición espontánea de ballenas en medio del espacio. Así que si no tenían nada que leer durante la pandemia, pueden mirar el primer libro de esta saga.

No dejen de mirar los avisos sobre la guía 6 de ejercicios, sobre la organización de la práctica para las próximas semanas, y sobre la práctica computacional. Y en la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima clase.

Y ¿sueñan los androides con ovejas eléctricas? Tanto el título de la novela de Philip K. Dick (que inspiró a la película Blade Runner), como un famoso poema de Jonathan Swift, exploran la idea de la repetición en diferentes grados o escalas. En la novela los humanos crean a los androides, y los androides sueñan como los humanos pero con ovejas eléctricas. En el poema, las pulgas tiene pulgas más pequeñas que se alimentan de ellas, que su vez también tienen sus pulgas:

So, naturalists observe, a flea
has smaller fleas that on him prey;
and these have smaller still to bite ‘em,
and so proceed ad infinitum.
Jonathan Swift, On poetry: A rhapsody (1733).

Maurits Escher exploró una idea similar en su xilografía Más y más pequeño (1956), en la que un patrón de reptiles se repite hasta alcanzar tamaños infinitamente pequeños y números infinitamente grandes:

Sorprendentemente, cerca de la temperatura crítica (T_c) en la cual se pierde la magnetización permanente, el modelo de Ising en dos dimensiones presenta estructuras similares, que se repiten en diferentes escalas. En la última clase comenzamos a vislumbrar este comportamiento en algunas de las simulaciones. Comencemos por ver un video que muestra un barrido del sistema en función de la temperatura, en el entorno cercano a la temperatura crítica:

La barra de colores de la derecha muestra la temperatura (normalizada por la temperatura crítica). Al principio del video (T > T_c) el sistema no tiene magnetización permanente. En la mitad del video (T ≈ T_c, cerca del minuto 0:50) se observan islas magnéticas de tamaños muy diferentes y con bordes rugosos. Y finalmente, hacia el final del video (T < T_c) se observan islas muy grandes, con el tamaño característico del dominio, y con bordes más suaves.

Cerca de la temperatura crítica, la presencia de islas de diferentes tamaños vuelve al sistema invariante de escala, como las pulgas del poema de Jonathan Swift, o como los reptiles en la xilografía de Maurits Escher (aunque en el caso del modelo de Ising, los patrones están más desordenados). Esto está muy bien ilustrado en el siguiente video, que muestra un estado del modelo de Ising con 1,7×10¹⁰ nodos, cerca de T_c. Al principio el video muestra lo que parecen ser cuatro realizaciones independientes del modelo de Ising, pero en realidad son partes más chicas de la simulación completa:

Espero que a todos les haya ido bien en la evaluación. En la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima clase.

La mecánica estadística, que nació a fines del siglo XIX y principios del siglo XX a partir de los trabajos de Boltzmann, Maxwell y Gibbs, tuvo un rol importante durante la Segunda Guerra Mundial. El proyecto Manhattan, que entre 1939 y 1946 reunió a varios de los científicos más brillantes de la época, usó frecuentemente sus herramientas e impulsó el desarrollo de métodos que ampliaron enormemente su área de aplicación. En las últimas clases comenzaron a aparecer métodos, y diversos nombres de científicos, que estuvieron relacionados con el proyecto Manhattan. Así que vamos a dedicar este post a discutir al menos dos de ellos. El proyecto Manhattan tuvo como objetivo fabricar armas nucleares para los Estados Unidos durante la guerra. Jugó un rol central en el fin de la guerra del Pacífico, mostró lo que puede hacer la colaboración científica a gran escala, y generó desarrollos rápidos e importantes. Pero aún hoy se sigue discutiendo la necesidad de bombardear Hiroshima y Nagasaki, o la carrera armamentista nuclear que siguió a continuación. Sobre esa época, y para reflexionar sobe esos temas, les aconsejo “Dr. Strangelove, or How I Learned to Stop Worrying and Love the Bomb” (1964), una película satírica de Stanley Kubrick en la que el genial Peter Sellers tiene tres papeles (el presidente de los Estados Unidos, un capitán británico, y el científico nazi Dr. Strangelove).

En la última clase vimos el método de campo medio para el problema de Ising desarrollado por Hans Bethe. Bethe publicó este resultado en 1935, el año en que se mudó a los Estados Unidos (pueden ver el paper original aquí). Bethe trabajó en el proyecto Manhattan y luego en el desarrollo de la bomba de hidrógeno junto con Edward Teller y Stanislaw Ulam (yo tuve la suerte de conocer y hablar varias veces con Stirling Colgate, que trabajó con Teller y Bethe en este proyecto; probablemente el apellido les resulte de conocido de algún lado). Luego Bethe trabajó en la formación de elementos químicos por fusión nuclear en el interior de las estrellas, por el que ganó el premio Nobel en 1967. La mecánica estadística jugó roles importantes en estos trabajos. Pero su paper más famoso es un paper en el que no trabajó. En 1948, luego de la guerra, Ralph Alpher y George Gamow escribieron un trabajo sobre la formación de los primeros átomos en el universo. Gamow, al enterarse que el paper iba a salir publicado el 1 de abril (“April fools’ day“, el equivalente a nuestro día de los inocentes), agregó a Hans Bethe como segundo autor. Así, el paper de Alpher, Bethe y Gamow se volvió conocido como el paper α-β-γ (alfa, beta y gama). Más tarde, cuando Ralph Alpher trabajó con Robert Herman en el cálculo de la temperatura de la radiación cósmica de fondo, Gamow quiso convencer a Herman de que cambiara su apellido por “Delter”, para poder escribir un paper con autores Alpher, Bethe, Gamow y Delter (α-β-γ-δ). Herman se negó rotundamente.

El método de Montecarlo que usamos para resolver numéricamente el modelo de Ising también fue creado durante el proyecto Manhattan. Stanislaw Ulam inventó al método tal como lo conocemos hoy mientras trabajaba en el proyecto de la bomba atómica. Él y John von Neumann lo usaron en la computadora de Los Alamos para calcular, usando mecánica estadística, la difusión de neutrones en el material para la fisión nuclear. Luego de la guerra, Nicholas Metropolis y Ulam publicaron el primer paper no clasificado explicando el método en detalle. Hoy se usa para resolver en forma numérica una gran variedad de problemas en física.

Los que quieran leer más historias sobre el proyecto Manhattan pueden mirar las memorias de Richard Feynman (¡incluyen lecciones sobre como abrir cajas fuertes!):

• Los Alamos from below

Como siempre, en la página de la teórica van a encontrar el video de la última clase, y los apuntes para la próxima.