Propuse varias soluciones; todas, insuficientes. Las discutimos; al fin, Stephen Albert me dijo:
- En una adivinanza cuyo tema es el ajedrez ¿cuál es la única palabra prohibida? Reflexioné un momento y repuse:
- La palabra ajedrez.
- Precisamente —dijo Albert—. El jardín de los senderos que se bifurcan es una enorme adivinanza, o parábola, cuyo tema es el tiempo; esa causa recóndita le prohíbe la mención de su nombre.
Jorge Luis Borges, El jardín de los senderos que se bifurcan (1941).

Si este post fuera una adivinanza, no podríamos mencionar la palabra “autosemejanza”. Vamos a hablar de fractales y de senderos que se bifurcan. Los fractales son objetos matemáticos que, por construcción, son invariantes de escala (es decir, se prescriben con un conjunto de reglas, usualmente recursivas, que generan una figura o un conjunto autosemejante). Es importante notar que el fenómeno de autosemejanza que se observa en los sistemas físicos cerca del punto crítico no se genera de esta forma, con pasos que se repiten infinitamente. Y en este sentido, los fractales no nos pueden brindar una explicación a la causa de la invariancia de escala. Sin embargo, como objetos matemáticos, pueden servir para estudiar propiedades generales de sistemas que son invariantes de escala, para generar datos sintéticos que tengan esta propiedad (como para generar terrenos o texturas que parezcan realistas en videojuegos), o para crear métodos para cuantificar la posible autosemejanza de un conjunto de datos.

Uno de los ejemplos más sencillos y conocidos está dado por el conjunto de Cantor. Se construye tomando el segmento [0,1], partiéndolo en 3, y removiendo el segmento del medio. Esto nos deja dos nuevos segmentos: [0,1/3] y [2/3,1]. La operación se repite en cada uno de los nuevos segmentos. La figura a continuación muestra el resultado de repetir este procedimiento diez veces (hagan click en la imagen para ver un zoom):

En términos coloquiales, un fractal es una figura construida con pequeñas partes que son similares a la figura completa, en cualquier escala en la que se observe. La construcción recursiva del fractal (que puede ser determinista, o tener componentes aleatorias) asegura que la figura resultante sea autosemejante. Y su “fractalidad” puede cuantificarse de diferentes formas; por ejemplo, calculando funciones de correlación y sus exponentes críticos. O calculando la dimensión fractal o la dimensión de Hausdorff, que están relacionadas con el exponente crítico de la función de correlación a dos puntos.

El término “fractal” fue introducido por Benoit Mandelbrot, que formalizó varias ideas previas de otros matemáticos (especialmente, durante el siglo XX, de Lewis Fry Richardson, que también hizo contribuciones importantes a la meteorología y a la turbulencia). Y fueron usados por Mandelbrot para, entre otras aplicaciones, calcular el perímetro de regiones costeras. Aunque la costa irregular de un país no es generada por una persona que repite reglas como en el conjunto de Cantor (pero en The hitchhiker’s guide to the galaxy pueden opinar distinto), calcular la dimensión fractal de la costa permite obtener buenas estimaciones de la longitud de curvas muy rugosas, y en ciento sentido, autosemejantes. Los que estén interesados en los detalles pueden leer el paper (lindo, clásico, y muy breve) de Mandelbrot sobre este tema:

• How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension

De la misma forma que conocer la longitud de correlación en el modelo de Ising nos permite inferir propiedades del tamaño de los dominios magnéticos, estimar la dimensión fractal le permitió a Mandelbrot resolver una aparente paradoja al intentar calcular la longitud de curvas autosemejantes: al medir la longitud de una costa, cuanto más detalle se tiene sobre su forma, más aumenta su longitud.

Los fractales también pueden generar imágenes visualmente interesantes, como el famoso conjunto de Mandelbrot:

Los que estén interesados en generar fractales con Python pueden ver los siguientes links con instrucciones paso a paso (recomiendo fuertemente el primero), y muchos ejemplos de códigos que pueden cortar y pegar en sus computadoras o en un Google Colab:

• A simple introduction to the world of fractals using Python
• Fractals with Python

Como mencioné más arriba, los fractales pueden tener componentes aleatorias. Y aunque los fractales no brindan una explicación a la causa de la autosemejanza en ciertos sistemas naturales, pueden ser usados para caracterizarla. Además, cumplen teoremas muy interesantes que nos permiten descubrir relaciones sorprendentes entre procesos autosemejantes. Por ejemplo, los ceros de un camino al azar unidimensional de tiempo contínuo (es decir, cada vez que el caminante al azar vuelve a pasar por su punto de origen) forman un conjunto fractal. Esto tiene que ver con otro teorema muy extraño que se aplica a un proceso llamado evolución de Schramm-Loewner: una curva al azar en dos dimensiones que sea invariante conforme (una forma más fuerte de la invariancia de escala, en la que la curva no es solo invariante frente a cambios de escala, sino también invariante frente a transformaciones que preserven los ángulos localmente) tiene una relación directa con un proceso de movimiento browniano en una dimensión. Este teorema puede usarse para calcular exponentes críticos en modelos de Ising y de percolación en dos dimensiones, a partir de propiedades del movimiento browniano unidimensional que vimos al principio del curso. ¡Todo se conecta con todo! De pronto, un tema de esta materia viajó al pasado y tuvo un hijo.

Llegó el festival anual psicodélico de la criticalidad en la física y en áreas afines, cada año actualizado con papers más y más recientes. Tenemos entradas para ver ejemplos de fenómenos críticos en física de materiales, sistemas biológicos, fluidos, cosmología, y hasta en neurociencias. Los links de bandas que tocaron en un festival de nombre similar llevan a videos en YouTube. Y ahora sí, criticalidad y autosemejanza:

Comencemos con el lineup. En el escenario principal, después de Guns N’ Roses, tenemos dos ejemplos de física de materiales y materia condensada. Ya conocemos las transiciones de fase asociadas a los cambios de estado de la materia (sólido, líquido y gaseoso). ¡Pero existen muchos más cambios de fase! Así que veamos el show de bandas menos conocidas (y con ejemplos recientes de publicaciones en física). Primero tenemos a los cristales líquidos. Los cristales líquidos están formados por moleculas anisótropas (generalmente alargadas, por ejemplo con forma de largos cilindros), por lo que se comportan con propiedades intermedias entre los líquidos y los sólidos de acuerdo a en que dirección del material se aplican los esfuerzos. Y tienen al menos dos fases: en la fase nemática (a mayor temperatura) las moléculas están más desordenadas, pero se alinean a lo largo de sus ejes principales. En cambio, en la fase esméctica (a menor temperatura) las moléculas se acomodan en capas más ordenadas, y dentro de cada capa las moléculas están inclinadas con el mismo ángulo. El cambio entre ambas fases es una transición de fase con propiedades críticas. Los interesados pueden mirar un paper reciente (Gim, Beller & Yoon, Nat. Commun. 8, 15453, 2017), donde encontrarán esta figura alucinante con cambios morfológicos del material durante la transición (para temperatura creciente, de izquierda a derecha):

También pueden mirar este paper (el preprint de acceso libre está disponible acá) en el que los autores demuestran la existencia de una fase nemática en un modelo de cristales líquidos formados por barras en una red bidimensional. Y los que quieran leer otro ejemplo de transiciones de fase en materiales, pueden mirar este artículo sobre transiciones sólido-sólido que ocurren por cambios en la forma de partículas coloidales.

Vayamos a otro escenario del Criticalpalooza, y mientras escuchamos The Flaming Lips, veamos ejemplos recientes de transiciones de fase y autosemejanza observados en sistemas biológicos. Ciertas células cambian sus patrones de movimiento de acuerdo a la densidad de células en su entorno. A baja densidad muestran un movimiento desordenado, mientras que a alta densidad muestran patrones de movimiento colectivo y ordenado. La transición entre ambos comportamientos ocurre como una transición de fase. Pueden ver un ejemplo en Szabó et al., Phys. Rev. E 74, 061908 (2006) (el preprint está diponible en este link). La siguiente figura, de ese paper, muestra los patrones de movilidad al aumental la densidad de las células (de izquierda a derecha). Noten el cambio en el orden del sistema:

Los que tengan interés por ver más aplicaciones en biofísica, pueden mirar también un paper sobre fenómenos críticos en membranas lípidas (¡donde estiman exponentes críticos!).

En el mismo escenario donde toca Metallica tenemos una variedad de fenómenos autosemejantes que se observan en fluidos. El más conocido es el fenómeno de la turbulencia, que es heavy metal. Los fluidos más viscosos (donde la viscosidad se mide con un número adimensional, el número de Reynolds) fluyen en forma ordenada y laminar. Pero al aumentar el número de Reynolds (y reducirse la importancia de la viscosidad), generan flujos muy desordenados que tienen propiedades de invariancia de escala. En la siguiente figura, noten como zooms sucesivos en el flujo parecen repetir los patrones (algo similar a lo que vimos en el modelo de Ising en 2D):

Esta es una transición extraña, porque los flujos turbulentos tienen propiedades de criticalidad y autosemejanza, pero son un sistema fuera del equilibrio. Pueden ver más imágenes de flujos turbulentos aquí. Y pueden ver un ejemplo de una transición de fase en turbulencia en un condensado de Bose-Einstein en este paper.

Los que tengan interés por cosmología pueden ir al escenario donde tocan Empire of the Sun y Lee Smolin, y leer este artículo donde se discuten diversos problemas (como la formación de galaxias espirales, la estructura de gran escala del universo, o el universo temprano) desde el punto de vista de fenómenos críticos. Bastante más difícil de leer, pero que sirve como ilustración, es este paper donde se estudia una transición de fase al compactificar una dimensión en teorías de gravedad (compactificar es “enrollar” una dimensión sobre si misma, y hacer tender ese “rollo” a cero). Y en cosmología, algunas teorías predicen que otra transición de fase podría haber ocurrido en el universo temprano, cuando se formaron los primeros átomos. Luego de ese momento el universo se volvió transparente, pero antes de ese instante el universo puede haber sido opalescente en forma crítica (como la mezcla de un líquido y un gas cuando llega a la temperatura crítica y dejan de existir las diferencias entre ambas fases, como se ve en la foto del centro en esta imágen de una mezcla de etano líquido y gaseoso tomada de Wikipedia):

Ya que estamos en el festival, no nos olvidemos de ir a ver las bandas clásicas. El mecanismo de Higgs por el cual los bosones de gauge adquieren masa, es también un mecanismo de ruptura espontánea de la simetría.

Para cerrar el festival, este Criticalpalooza no tendrá a The Strokes, pero tiene ejemplos de fenómenos críticos en el cerebro (¿lo entendieron?). Las funciones cognitivas involucran procesos que van desde las neuronas individuales hasta regiones grandes del cerebro, y en los últimos años se encontró evidencia creciente de que el cerebro funciona en el borde entre el orden y el desorden, con propiedades de fenómenos críticos. Los interesados en ver ejemplos de criticalidad y autosemejanza en el cerebro pueden mirar este paper o este paper. O, si quieren mirar dos papers más recientes, pueden ver este paper publicado en Science Advances o este paper escrito por varios investigadores del Departamento de Física. Ambos tienen gráficos que muestran cómo se calculan los exponentes críticos en este sistema. La siguiente imagen, tomada de Cochi et al., Progress in Neurobiology 158, 132 (2017) (el primero de los cuatro papers) también es bastante sugerente:

¿Matan las pulgas a sus pulgas con matapulgas? Y ¿sueñan los androides con ovejas eléctricas? Tanto el título de la novela de Philip K. Dick (que inspiró a la película Blade Runner), como un famoso poema de Jonathan Swift, exploran la idea de la repetición en diferentes grados o escalas. En la novela de Philip Dick los humanos crean a los androides, y los androides sueñan como los humanos pero con ovejas eléctricas. En el poema de Swift, las pulgas tiene pulgas más pequeñas que se alimentan de ellas, que a su vez también tienen sus pulgas:

So, naturalists observe, a flea
has smaller fleas that on him prey;
and these have smaller still to bite ‘em,
and so proceed ad infinitum.
Jonathan Swift, On poetry: A rhapsody (1733).

Maurits Escher exploró una idea similar en su xilografía Más y más pequeño (1956), en la que un patrón de reptiles se repite hasta alcanzar tamaños infinitamente pequeños y números infinitamente grandes:

Sorprendentemente, en ausencia de campo magnético externo y cerca de la temperatura crítica (T_c) en la cual se pierde la magnetización permanente, el modelo de Ising en dos dimensiones presenta estructuras similares, que se repiten en diferentes escalas. Algo de esto vimos hoy en un caso patológico, el caso unidimensional, en el que la longitud de correlación entre pares de espines diverge para la temperatura tendiendo a cero. Y en la próxima clase comenzarán a estudiar este comportamiento usando simulaciones en dos dimensiones. Mientras tanto, veamos un video que muestra un barrido del sistema en función de la temperatura, en el entorno cercano a la temperatura crítica:

La barra de colores de la derecha muestra la temperatura (normalizada por la temperatura crítica). Al principio del video (T > T_c) el sistema no tiene magnetización permanente. En la mitad del video (T ≈ T_c, cerca del minuto 0:50) se observan islas magnéticas de tamaños muy diferentes y con bordes rugosos. Y finalmente, hacia el final del video (T < T_c) se observan islas muy grandes, con el tamaño característico del dominio, y con bordes más suaves.

Cerca de la temperatura crítica, la presencia de islas de diferentes tamaños vuelve al sistema invariante de escala, como las pulgas del poema de Jonathan Swift, o como los reptiles en la xilografía de Maurits Escher (aunque en el caso del modelo de Ising, los patrones están más desordenados). Esto está muy bien ilustrado en el siguiente video, que muestra un estado del modelo de Ising con 1,7×10¹⁰ nodos, cerca de T_c. Al principio el video muestra lo que parecen ser cuatro realizaciones independientes del modelo de Ising, pero en realidad son partes más chicas de la simulación completa: