[Aquí] pueden bajar la clase de hoy, con los cálculos que pasamos por alto. Si quieren ver algunos problemas interesantes de transporte, busquen en el libro de Dalvit et al. En otro orden de cosas, se olvidaron una taza térmica. La dejamos en la bedelía del pabellón 0. (Versión actualizada del apunte: [aquí]).

Nueva versión de la Guía 4, adaptada a la finitud de la vida humana. Para bajar [aquí]. Le dedicaremos la clase práctica del lunes.

Pueden bajar [aquí] un PDF con lo que vimos en la práctica de hoy. La sección S.5.B.2 del libro de Reichl tiene un buen ejemplo de ecuación maestra. El tema está tratado en profundidad en el libro de Van Kampen.

[Aquí] pueden bajar un compendio de la clase de hoy sobre caminatas al azar en una dimensión, en tiempo discreto y de pasos discretos. Es un resultado interesante que para una caminata simétrica en una y dos dimensiones, el caminante tiene probabilidad 1 de regresar eventualmente al punto de partida, mientras que en más de dos dimensiones, esa probabilidad es menor que uno: el caminante tiene una probabilidad finita de no volver nunca al origen. Para la caminata en una dimensión, pueden leer el capítulo III del primer volumen de Feller. Algunas propiedades de la caminata al azar se descubrieron recién cuando fue posible hacer simulaciones numéricas en computadoras. A lo largo de todo el capítulo, Feller enumera varios resultados desconcertantes. Justo [aquí] pueden bajarlo.

[Aquí] pueden bajar lo que vimos durante la clase práctica de hoy. Traten de hacer los problemas 1 y 4, en especial el 4. Miren el libro de Grinstead y Snell para más problemas de esa clase. El método que vimos hoy para calcular potencias de una matriz es sumamente útil.

La Guía 3 puede bajarse [aquí]. Le vamos a dedicar tres clases. Mañana empezamos con los primeros problemas.

[Aquí] tienen, pasados en limpio, los problemas que vimos en la clase de hoy. Son problemas clásicos. Si buscan en Internet, van a encontrar muchas cosas al respecto. Por ejemplo, la figura de abajo muestra la distribución de fechas de cumpleaños.  Lejos está de ser una distribución uniforme.

Recuerden que hay una versión actualizada de la Guía 2, en donde el problema 13 está planteado con más detalle.

Si están trabados en los ítems (c) y (d) del problema 5, no se alarmen. Cuando las cajas son indistinguibles, contar los ordenamientos es complicado. Busquen en la Wikipedia “particiones de números” y “números de Stirling de segunda especie”.

En la clase del miércoles aprendimos a contar casos a través de resolver problemas de combinatoria, lo cual muchas veces es útil para calcular probabilidades. Pongamos un ejemplo: si tengo un dado que no esta trucado y tiene seis caras, y quiero saber la probabilidad de sacar un número en particular, esta la puedo calcular como la cantidad de casos favorables (uno solo, cuando saco el número que quiero) dividida por la cantidad de casos totales (seis). Entonces, por ejemplo, la probabilidad de sacar el número 1 es 1/6.

Ahora supongamos que estamos jugando al T.E.G, yo tengo un país con dos tropas y quiero atacar un país que tiene una sola. Entonces tanto yo, como mi contrincante, tenemos que tirar un dado. Si mi resultado es más grande gano yo, pero si mi resultado es menor o igual al de mi contrincante pierdo. ¿Cuál es mi probabilidad de ganar? Contemos casos:

- Casos totales: Tenemos dos dados distinguibles (hay que distinguir cuál es mi dado y cuál es el de mi oponente). Entonces, la cantidad de casos totales se reduce a calcular de cuantas formas puedo ordenar dos dados de seis caras distinguibles. Como vimos en clase en el problema de las palabras de tres letras con repetición (porque ambos dados pueden tener el mismo número), para el primer dado tengo seis resultados, luego para el segundo tengo otros seis posibles. De esta forma, los casos totales son 6*6=36.

- Casos favorables: Ahora tengo que contar en cuantos casos yo gano (porque quiero calcular la probabilidad de ganar), entonces pensémoslo así: si mi oponente saca 6, entonces yo tengo cero casos en los que gano. Si saca 5 tengo un caso en el que gano (sacando el número 6). Si saca 4 tengo dos casos en los que gano (sacando 6 o 5). De esta forma es fácil ver que hay un total de 0+1+2+3+4+5=15.

De esta forma, la probabilidad de ganar en esas condiciones es de 15/36=0.42. Esto significa que tengo un 42% de probabilidades de ganar (noten como la probabilidad es menor al 50%, porque el empate favorece al país defensor).

El caso de 2v1 es más interesante, porque ahora si yo tiro dos dados y quiero contar la forma de arreglarlos, debo considerarlos indistinguibles: sacar 1-2, o sacar 2-1 me da igual! Sin embargo, mis dados siguen siendo distinguibles de los de mi oponente.

Si van al día con la materia, puede ser un ejercicio divertido calcular la probabilidad de ganar en el 2v1, luego en el 2v2, o en el 3v1. Al irse a números más grandes la cuenta puede volverse un poco molesta. Pero para que chequeen sus resultados, o para que se armen su machete de probabilidades para la próxima vez que jueguen, pueden usar este colab.

Y por si no les interesa el T.E.G. pero les gustan los juegos de pokemon, este video muestra momentos de mucha mala suerte en el juego, explicando como calcular las probabilidades de que ocurran. Y sí, en el video también cuentan casos para calcular las probabilidades.

Buen fin de semana, nos vemos el lunes!!

Mi libro “Borges y la mecánica estadística” va a tener un capítulo dedicado a Borges y la combinatoria. La biblioteca de Babel, La lotería de Babilonia, El jardín de senderos que se bifurcan son algunos contactos entre el autor de la autobiografía de Jorge Luis Borges y las probabilidades y la combinatoria. Aquí abajo hay otro, tomado del libro “Discusión”.

Ya pueden bajar la Guía 2. Se divide en dos temas: combinatoria y probabilidades.  Muchas veces los problemas de probabilidades se reducen a problemas de combinatoria. Mañana vamos a ver problemas de combinatoria. En la carpeta de material adicional hay un link, y en la página linkeada hay otro link que los conducirá a un link en donde hay links para bajar libros. El libro de Feller es un clásico. Un libro sobre probabilidades muy interesante y dirigido a un público general es el de Diaconis y Skyrms. Grinstead y Snell ponen mucho énfasis en los métodos computacionales. El libro de mecánica estadística de Reichl tiene estos temas y los de las guías siguientes.